Caso No. 09: "Control y Simulación del Caos"

“It has been said something as small as the flutter of a butterfly's wing can ultimately cause a typhoon halfway around the world” - Chaos Theory

Title Card, The Butterfly Effect (2004)

Quizá el lector haya visto en alguna ocasión la película El Efecto Mariposa (The Butterfly Effect), en donde el protagonista modificaba el futuro regresando al pasado a través de un pequeño diario que llevaba cuando era un infante, pero en donde cada vez que viajaba al pasado la menor alteración realizada causaba cambios radicales en el futuro. Evidentemente, estos cambios eran imposibles de predecir.

La trama de la película está basada en el efecto mariposa, que es a su vez un concepto que hace referencia a la sensibilidad de las condiciones iniciales dentro del marco teórico de la teoría del caos. El efecto mariposa debe su nombre a que algo tan sencillo como el aleteo de una mariposa en cierta parte del mundo, puede tener grandes consecuencias como la alteración del lugar en donde ocurrirá el próximo huracán. Iniciemos primero hablando de la teoría del caos.

La teoría del caos estudia el comportamiento impredecible de los sistemas dinámicos, en donde se plantea que un sistema no sigue un patrón fijo y predecible, sino que se comporta de forma caótica y que su comportamiento depende, en gran manera, de circunstancias inciertas. Esta forma de pensar nos lleva a suponer que una pequeña variación en el sistema, o en un punto del mismo, puede provocar que al aumentar el tiempo se tenga un comportamiento completamente diferente e impredecible.

Como a nosotros nos interesa la modelación matemática y la simulación de sistemas, debemos entender la teoría del caos como el efecto resultante cuando se da una ligera variación en las condiciones iniciales de un sistema que provoca grandes variaciones en los resultados finales del mismo.

De acuerdo a su definición, podemos clasificar a un sistema dinámico en cualquiera de los siguientes tres tipos:

a. Sistemas estables. Un sistema estable tiende a un punto conforme aumenta el tiempo, es decir, se estabiliza a un valor predecible, por lo que sus ecuaciones características, condiciones iniciales, límites, elementos e interacciones indican la evolución del sistema con respecto al tiempo.

Por ejemplo, suponga el lector que tenemos un pequeño tanque, que puede ser una cubeta, la cual colocamos debajo de una toma de agua y comenzamos a llenarla. Lamentablemente, nuestro tanque tiene un agujero en la parte baja, por lo que parte del agua que tenemos se escapa precisamente por ahí. Al inicio del proceso, si el flujo de agua que entra a la cubeta es muy grande, la cantidad de agua que se pierde por el agujero será muy poca, pero qué sucede cuando el nivel del agua comienza a aumentar? Pues conforme el nivel del líquido aumenta, va “empujando” cada vez más la cantidad de agua para que salga por el agujero. Y el proceso continúa de esta forma, hasta que la cantidad de agua que sale es la misma que la cantidad de agua que entra a nuestro tanque, y nuestro sistema se estabiliza, como se observa en la figura 1.

FIGURA 1. Altura de líquido contra tiempo, para el caso de
un tanque con una salida en función de la altura de líquido.

Antes de continuar con el siguiente tipo dentro de nuestra clasificación, sería conveniente definir lo que se conoce como atractor. Si observamos la forma en que varía la altura del líquido dentro del tanque de la figura 1, podemos representar una serie de puntos que forman una trayectoria en el espacio de estados. Cuando el tiempo tiende a infinito la trayectoria ocupa un subespacio, al cual se le denomina atractor. El atractor es entonces una representación geométrica de la dinámica del sistema en el tiempo.

En la figura 1, el conjunto formado por todas las alturas de líquido que el tanque experimenta forman el espacio del sistema, y la altura de 7 corresponde entonces con el atractor, que es el nivel de líquido al cual se encuentra nuestro nivel estable.

Ahora bien, si ocasionamos una entrada de escalón, en donde el flujo aumenta en un litro por minuto, la estabilidad que presentaba nuestro sistema se ve afectada, pero tiende hacia un nuevo estado de equilibrio a una altura de 10 centímetros, aproximadamente (figura 2). Si volviéramos a disminuir nuestro flujo en un litro por minuto, la altura comenzaría esta vez a decaer hasta volver a llegar a los 7 centímetros originales (figura 3).

FIGURA 2. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón.

FIGURA 3. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón
y su respuesta ante la retirada de esta entrada.

El hecho de que ante una perturbación nuestro sistema retorne a una estabilidad es propio de un sistema estable.

b. Sistemas inestables. Son sistemas que no tienen una tendencia notoria conforme aumenta el tiempo, es decir, que no tienden hacia un punto en específico, por lo que no se puede conocer la forma en que el sistema varía con respecto al tiempo.

En nuestro ejemplo del tanque, si en vez de tener un agujero en el fondo del mismo, tuviéramos una tubería conectada a una bomba que extrae agua a una velocidad determinada, y si el flujo volumétrico de salida es mayor que el de entrada, la altura aumentará indefinidamente (figura 4). Eventualmente nuestro nivel superará la altura del tanque y comenzará a desbordarse, en caso de que sea abierto, o aumentará la presión en el interior, en caso de que el tanque esté cerrado. Esto tiene demasiada importancia al momento de diseñar un proceso.

FIGURA 4. Altura de líquido contra tiempo, para
el caso de un tanque con una salida constante.

Si produjéramos una entrada de escalón de un litro por galón, la altura del nivel de líquido aumentará más rápido, y de igual forma no se estabilizará (figura 5). Si redujéramos de nuevo el flujo volumétrico en un litro por segundo, el aumento en el nivel del líquido sería más lento pero continuaríamos sin equilibrio (figura 6).

FIGURA 5. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón.

FIGURA 6. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón
y su respuesta ante la retirada de esta entrada.

c. Sistemas caóticos. Un sistema caótico presenta el comportamiento tanto de los sistemas estables como inestables. Las ecuaciones características de un sistema caótico, así como sus condiciones iniciales, límites y demás propiedades indican la evolución del sistema con respecto al tiempo, pero la más mínima variación en estas provoca una evolución radical en su comportamiento.

Continuando con nuestro ejemplo de un tanque, es necesario añadir un segundo tanque. La parte caótica la tendríamos si conectáramos al fondo del tanque 1 una tubería hacia el fondo del tanque 2, por lo que esta vez el flujo volumétrico en dicha tubería está en función de las alturas tanto en el tanque 1 como en el tanque 2.

Un aumento en la altura del tanque 1 implicaría un aumento en el flujo volumétrico a su salida, pero si la altura del tanque 2 es mayor, el flujo volumétrico debería de desplazarse hacia el tanque 1. Por lo tanto, una variación en el flujo que entra al sistema puede mantener las alturas de los tanques variando indefinidamente (figuras 7 y 8).

FIGURA 7. Altura de líquido contra tiempo, para el caso de dos tanque conectados en serie
en su parte inferior con una salida en función de la altura de líquido del tanque 2.

FIGURA 8. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón.

c. Sistemas caóticos. Un sistema caótico presenta el comportamiento tanto de los sistemas estables como inestables. Las ecuaciones características de un sistema caótico, así como sus condiciones iniciales, límites y demás propiedades indican la evolución del sistema con respecto al tiempo, pero la más mínima variación en estas provoca una evolución radical en su comportamiento.

Continuando con nuestro ejemplo de un tanque, es necesario añadir un segundo tanque. La parte caótica la tendríamos si conectáramos al fondo del tanque 1 una tubería hacia el fondo del tanque 2, por lo que esta vez el flujo volumétrico en dicha tubería está en función de las alturas tanto en el tanque 1 como en el tanque 2.

Un aumento en la altura del tanque 1 implicaría un aumento en el flujo volumétrico a su salida, pero si la altura del tanque 2 es mayor, el flujo volumétrico debería de desplazarse hacia el tanque 1. Por lo tanto, una variación en el flujo que entra al sistema puede mantener las alturas de los tanques variando indefinidamente (figuras 7 y 8).

FIGURA 9. Respuesta del sistema ante una entrada de escalón
y su respuesta ante la retirada de esta entrada.

Es notorio que algo salió mal con la simulación de este sistema caótico, ya que el resultado no es tal y como se esperaba. Esto nos lleva a pensar que: 1) el sistema de dos tanques en serie conectados mediante una tubería en sus zonas inferiores no es un sistema caótico o bien, 2) el autor no desarrolló el modelo correctamente.

Los modelos de los tres casos están basados en un balance de materia para determinar la ecuación diferencial que modela la parte dinámica del sistema, y en un balance de energía mecánica (ecuación de Bernoulli) para los casos en donde se tiene una salida en función de la altura de la columna del líquido. Para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, y el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, se utilizó el método de Runge-Kutta de cuarto orden.

Ahora bien, como puede notarse, los atractores difieren entre los diferentes tipos de sistemas dinámicos, por lo que es conveniente también definir su clasificación de acuerdo a estos:

a. Atractor de dimensión cero (0). Un atractor de este tipo corresponde a un sistema estático, en donde el sistema no cambia con el tiempo una vez que se estabiliza.

b. Atractor de dimensión uno (1). Un atractor de este tipo, en cambio, corresponde con un sistema periódico, en el que un número infinito de estados se repiten indefinidamente.

c. Atractor de dimensión dos (2) y de dimensiones superiores. Un atractor de dimensión 2 o superior corresponde con un sistema cuasi-periódico.

Hasta el momento, hemos descrito los tipos de atractores ligados a sistemas estáticos, periódicos y cuasi-periódicos, que a final de cuentas son sistemas predecibles. Qué tipo de atractor tiene entonces un sistema caótico?

d. Atractores extraños. Los atractores de este tipo definen trayectorias más complicadas en el espacio de estados del sistema, de forma completamente impredecibles. La estructura de este tipo de atractores son los fractales.

Ahora se nos viene encima una nueva pregunta, por qué son importantes los atractores cuando hablamos de caos? Una razón sería por la misma razón en que son importantes cuando tenemos un sistema predecible: porque su gráfica nos indica la estructura del sistema.

Por ejemplo, si seleccionamos un punto del atractor, no sabemos con certeza qué es lo que va a hacer a continuación. Además, un sistema caótico no necesariamente tiene que ser caótico en toda su extensión, por lo que un atractor extraño podría darnos una idea de en donde existen zonas no-caóticas.

Ahora que conocemos la clasificación de los diferentes tipos de sistemas, y que sabemos más a fondo en qué consiste cada tipo, podríamos determinar una forma de diferencias un sistema caótico de uno que no lo es. Por su definición, un sistema dinámico debe contar con las siguientes propiedades para ser considerado caótico:

· El sistema debe ser transitivo, es decir, se debe estar moviendo de un estado a otro.

· El sistema debe ser sensible a las condiciones iniciales.

· Las órbitas periódicas que exhiben deben formar un espacio denso en una región compactada del espacio físico, es decir, que debe existir un atractor que atrae al sistema alrededor de un determinado estado del sistema.

Las aplicaciones de la teoría del caos pueden encontrarse en muchas áreas, entre las principales, los pronósticos del clima. Ahora bien, un dato interesante sobre este tema, es por qué los pronósticos son solo confiables en intervalos cortos, posiblemente menores a una semana.

Los modelos que se utilizan para predecir el clima tienen un nivel de confiabilidad por el simple hecho de ser modelos. Para introducir una condición inicial al modelo, es necesario tomar alguna medida, ya sea de temperatura, humedad, presión atmosférica, etc. La mecánica cuántica nos indica que ninguna medida realizada es exacta, como ya se vio en uno de los casos anteriores. Este error sistemático en la medición corresponde con una perturbación, si bien bastante pequeña, de las condiciones iniciales de nuestro modelo. Entonces es cuando se nos viene a la mente… el efecto mariposa! Este error se va arrastrando a través de los cálculos y pueden ocurrir dos cosas, de acuerdo al sistema: 1) el error va creciendo con cada cálculo que se realice o 2) el error se mantiene cuasi-constante. Esto está en función del tipo de sistema con el que se esté trabajando. Entonces un pronóstico del clima, sujeto a estos errores, presupone un error tan grande para inferir a 3, 4 o 5 días, que aventurarse a predecir más de eso es insensato, ya que a nuestro error de medición se suman las fuentes de variabilidad de las condiciones climáticas.

La teoría del caos establece, o más que establecer debería ser que pone a un profesionista a pensar, en todo este tipo de situaciones. Yo, como ingeniero químico, estoy consciente que los errores por medición pueden llevarme a que se derrame algún ácido de un tanque, produciendo daños humanos, o a que la temperatura de un reactor tubular con camisa de enfriamiento se dispare hacia un nuevo estado de equilibrio, en el mejor de los casos, o que continúe aumentando su temperatura hasta que explote.

“Ever heard of chaos theory, Ed? It's a science, tries to determine underlying patterns in chaotic systems like weather, ocean currents, blood flow sort of things. But it turns out that are few things more chaotic than the beat of a human heart. Its beating up, slowing down. Pretty face, flirty stares. It's always changing on what's happening to ourselves out there. It's an erratic son of a b... But underneath all of that bump-da-bump mess, there is in fact a pattern, the truth, and it's love. Most important thing about love is that we choose to give it, and we choose to receive it. Making it the least random act in the entire universe. It transcends blood, it transcends betrayal and all the dirt and makes us human.”

Frank Allen (Ryan Reynolds), Chaos Theory (2007)